À l’occasion du départ à la retraite de la géomètre renommée Anna Tetraquadro, ses collègues lui ont préparé un geste à la fois symbolique et mathématique. Trois cadeaux, tous de forme parallélépipédique, ont été offerts. Chaque cadeau présente des dimensions entières en centimètres et satisfait à une relation particulière entre son volume et son aire de surface, offrant ainsi un défi intellectuel à la récipiendaire.
Un cube au mystère dimensionnel
Le premier cadeau est un cube, ce qui signifie que ses trois dimensions — largeur, profondeur et hauteur — sont égales. Ce cube possède la propriété remarquable que son volume, exprimé en centimètres cubes, est identique à l’aire totale de ses six faces, exprimée en centimètres carrés. Il s’agit alors de déterminer la longueur du côté de ce cube entier.
Cette relation se traduit mathématiquement par l’égalité entre le volume V et l’aire S : avec côté x,
V = x³ = S = 6x²
En simplifiant par x², on obtient x = 6 cm. Le cube mesure donc 6 cm de côté, une dimension simple mais significative, révélant un équilibre parfait entre espace et surface.
Les deux autres cadeaux : un défi plus complexe
Les deux cadeaux suivants sont encore plus originaux. Bien qu’étant des parallélépipèdes rectangles à faces rectangulaires, ils partagent une propriété singulière :
leur hauteur, exprimée en centimètres, est égale à l’aire de leur base, exprimée en centimètres carrés.
Soit pour un parallélépipède de dimensions l, L, h, avec l et L la largeur et la profondeur de la base respectivement, on a :
h = l × L
De plus, chaque cadeau vérifie encore la condition que son volume est égal à son aire totale. Le volume V est donné par :
V = l × L × h
et l’aire totale S par :
S = 2 (lL + lh + Lh)
Avec la contrainte h = lL, il est possible de simplifier :
V = l × L × (lL) = l^2 × L^2
S = 2 (lL + l(lL) + L(lL)) = 2 (lL + l^2 L + l L^2) = 2lL (1 + l + L)
La condition V = S devient :
l^2 L^2 = 2 l L (1 + l + L)
En divisant par lL (non nul), on obtient :
l L = 2 (1 + l + L)
Cette équation diophantienne implique la recherche de triplets d’entiers positifs (l, L, h) répondant à cette égalité. Après recherche, deux solutions entières plausibles se dégagent :
- l = 1, L = 3, h = 3 (puisque h = l × L)
- l = 2, L = 4, h = 8
Avec ces dimensions, chaque cadeau conserve l’égalité entre volume et surface tout en respectant la contrainte spécifique de hauteur.
Contexte et portée du défi
Cette énigme poétique illustre l’attachement des collègues de Mme Tetraquadro à sa discipline professionnelle. Ils ont choisi de lui offrir des cadeaux ménagés par des propriétés combinant géométrie et nombres entiers, stimulant à la fois la réflexion mathématique et le symbolisme. Ce cadeau reflète la rigueur et la beauté des formes qui ont probablement marqué sa carrière.
« Ce genre de défi montre à quel point la géométrie est profondément liée à la vie quotidienne et aux objets simples. La propriété liant volume et surface avec de simples dimensions entières est une curiosité mathématique rare », explique le professeur Julien Girard, spécialiste en géométrie et didactique des mathématiques.
Une retraite placée sous le signe de la géométrie
Au-delà de la dimension ludique, cette attention souligne l’importance donnée à la pensée rigoureuse, la résolution de problèmes et l’exploration des relations entre objets géométriques. Ces trois parallélépipèdes offrent une belle métaphore des différentes facettes de la carrière d’une géomètre : précision, logique et créativité.
Par cette mise en scène, les collègues d’Anna Tetraquadro honorent son engagement professionnel tout en lui proposant un ultime exercice intellectuel. Une manière originale de célébrer un parcours dédié à la mesure et à la compréhension de l’espace.
L’énigme pour l’avenir
Anna Tetraquadro devra désormais répondre à cette énigme pour ouvrir chacun des cadeaux. Le défi, qui mêle arithmétique et géométrie, ouvre la porte à une réflexion approfondie sur la nature des dimensions et des mesures.
Ce cas illustre également comment des objets usuels peuvent se révéler porteurs de propriétés mathématiques fascinantes, souvent insoupçonnées. En ce sens, même une retraite devient l’occasion d’un dernier enseignement, fidèle à son métier.
